Question

（2014?江西样卷）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于F．（1

（2014?江西样卷）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于F．（1）求证：△ACD≌△CBF；（2）求证：AB垂直平分DF．

Answer 1

（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵CE⊥AD，
∴∠CAD=∠BCF，
∵BF∥AC，
∴∠FBA=∠CAB=45°
∴∠ACB=∠CBF=90°，
在△ACD与△CBF中，
∵

∠CAD＝∠BCF AC＝BC ∠ACB＝∠CBF

，
∴△ACD≌△CBF；

（2）证明：∵∠BCE+∠ACE=90°，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠BCE=∠CAE．
∵AC⊥BC，BF∥AC．
∴BF⊥BC．
∴∠ACD=∠CBF=90°，
在△ACD与△CBF中，
∵

∠BCE＝∠CAE AC＝CB ∠ACD＝∠CBF

，
∴△ACD≌△CBF，
∴CD=BF．
∵CD=BD=

1

2

BC，
∴BF=BD．
∴△BFD为等腰直角三角形．
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠ABC=45°．
∵∠FBD=90°，
∴∠ABF=45°．
∴∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分线．
∴BA是FD边上的高线，BA又是边FD的中线，
即AB垂直平分DF．