Question

如图，正方形ABCD中，点E在AB上，且AE＝23AB，EF⊥EC交AD于点F，连结FC．（1）求证：△AEF∽△BCE；（2）

如图，正方形ABCD中，点E在AB上，且AE＝23AB，EF⊥EC交AD于点F，连结FC．（1）求证：△AEF∽△BCE；（2）求cos∠ECF的值．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°．
∵EF⊥EC，
∴∠AEF+∠CEB=90°，
又∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠CEB=∠AFE，
∴△AEF∽△BCE．
（2）∵AE＝

2

3

AB，
∴

AE

BC

＝

2

3

，
又△AEF∽△BCE，
∴

EF

CE

＝

AE

BC

＝

2

3

，
设EF=2k，EC=3k，∴FC=

13

k，
∴cos∠ECF＝

EC

FC

＝

3 13

13

．