Question

阅读下面材料：根据两角和与差的余弦公式，有cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ①cos（α-β）=cosαco

阅读下面材料：根据两角和与差的余弦公式，有cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ①cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ②由①-②得 cos（α+β）-cos（α-β）=-2sinαsinβ令 α+β=A，α-β=B，有α＝A+B2，β＝A?B2代入③得cosA?cosB＝?2sinA+B2sinA?B2（1）类比上述推理方法，根据两角和与差的正弦公式，证明：sinA+sinB＝2sinA+B2cosA?B2（2）若在△ABC的三个内角A，B，C，满足在cos2A-cos2B=1-cos2C试判断△ABC的形状．（提示：如需要可直接利用或参阅结论）

Answer 1

解答：证明：（1）由sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ①sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ②
由①+②得 sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ③
令α+β=A，α-β=B，有α＝

A+B

2

，β＝

A?B

2

代入③sinA+sinB＝2sin

A+B

2

cos

A?B

2

（2）由二倍角公式可得，（sinA）²+（sinC）²=（sinB）²
设角A，B，C的对边分别为a，b，c
由正弦定理可得，c²+a²=b²所以由勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形．