Question

如图,△ABC是等边三角形,点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点 ⑴若AD=BE=CF,问三角形DEF是等边三角形吗?

如图,△ABC是等边三角形,点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点⑴若AD=BE=CF,问三角形DEF是等边三角形吗?试证明你的结论；⑵若△DEF是等边三角形,问AD=BE=CF成立吗?试证明你的结论.

Answer 1

【成立】
证明：
（1）
∵△ABC为等边三角形
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°
∵AD=BE=CF
∴AB-AD=BC-BE=AC-CF
即BD=CE=AF
∵在△ADF和△BED和△CFE中
AD=BE=CF
∠A=∠B=∠C=60°
AF=BD=CE
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS）
∴DF=DE=EF
∴△DEF是等边三角形
（2）
∵△DEF是等边三角形
∴DE=DF，∠EDF=60°
则∠BDE+∠ADF=180°-∠EDF=120°
∵△ABC是等边三角形
∴∠A=∠B=60°
则∠BDE+∠BED=180°-∠B=120°
∴∠ADF=∠BED
∵在△ADF和△BED中
∠A=∠B=60°，∠ADF=∠BED，DF=DE
∴△ADF≌△BED（AAS）
∴AD=BE，AF=BD
∵AB=AC
∴AB-BD=AC-AF
即AD=CF
∴AD=BE=CF