Question

已知如图，BC为半圆O的直径，AD⊥BC，垂足为D，过点B作弦BF交AD于点E，交半圆O于点F，弦AC与BF交于点H，

已知如图，BC为半圆O的直径，AD⊥BC，垂足为D，过点B作弦BF交AD于点E，交半圆O于点F，弦AC与BF交于点H，且AE=BE．求证：（1） AB = AF ；（2）AH?BC=2AB?BE．





Answer 1

证明：（1）∵AE=BE， ∴∠BAD=∠ABE， ∵BC是直径，AD⊥BC， ∴∠ADB=∠BAC=90°， ∴∠ABD+∠BAD=∠ABC+∠C=90°， ∴∠BAD=∠C， ∴∠C=∠ABF， ∴ AB = AF ； （2）∵∠猜颤饥C=∠ABF， Rt△ABH ∽洞碰 Rt△ACB， ∴AH：BH=AB：BC，即穗返AH?BC=AB?BH， ∵∠EAH+∠BAD=∠AHB+∠ABH=90°，∠BAD=∠ABE， ∴∠EAH=∠AHB， ∴AE=EH=BE= 1 2 BH， ∴AH?BC=2AB?BE．