Question

已知椭圆C： 的离心率为 ，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为 ．（1）求椭圆C的方程

已知椭圆C： 的离心率为 ，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为 ．（1）求椭圆C的方程；（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．①若线段AB中点的横坐标为 ，求斜率k的值；②已知点 ，求证： 为定值．

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Answer 1

（1）解：因为 满足a 2 =b 2 +c 2 ， ， 根据椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为 ， 可得 ． 从而可解得 ， 所以椭圆方程为 （2）证明：①将y=k（x+1）代入 中， 消元得（1+3k 2 ）x 2 +6k 2 x+3k 2 ﹣5=0 △=36k 4 ﹣4（3k 2 +1）（3k 2 ﹣5）=48k 2 +20＞0， 因为AB中点的横坐标为 ，所以 ，解得 ②由①知 ， 所以 = = = = =