Question

已知椭圆C1：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）与双曲线 C2：x2-y24＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴

已知椭圆C1：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）与双曲线 C2：x2-y24＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则椭圆C1的离心率为 （　　）A．e2=1011B．e2=12C．e2=910D．e2=89

Answer 1

由题意，C₂的焦点为（±

5

，0），一条渐近线方程为y=2x，
根据对称性可知以C₁的长轴为直径的圆交y=2x于A、B两点，满足AB为圆的直径且AB=2a
∵椭圆C₁与双曲线C₂有公共的焦点，
∴C₁的半焦距c=

5

，可得a²-b²=5，…①
设C₁与y=2x在第一象限的交点的坐标为A（m，2m），
代入C₁的方程，解得m²=

a2b2

b2+4a2

，…②
由对称性可得直线y=2x被C₁截得的弦长AB=2

5

m，
结合题意得2

5

m=

2a

3

，可得m=

a

3 5

，…③
由②③联解，得a²=11b²…④
再联解①④，可得a²=5.5，b²=0.5，得c²=a²-b²=5．
∴椭圆C₁的离心率e满足e²=(

c

a

)2=

c2

a2

=

10

11

．
故选：A