Question

如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A点的坐标为（3，0），以OA为边作等边三角形OAB，点B在第一象

如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A点的坐标为（3，0），以OA为边作等边三角形OAB，点B在第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于点C．动点P从O点出发沿着OC向点C运动，动点Q从B点出发沿着BA向点A运动，P，Q两点同时出发，速度均为1个单位/秒．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．设运动时间为t秒．（1）求线段BC的长；（2）过点Q作x轴垂线，垂足为H，问t为何值时，以P、Q、H为顶点的三角形与△ABC相似；（3）连接PQ交线段OB于点E，过点E作x轴的平行线交线段BC于点F．设线段EF的长为m，求m与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．

Answer 1

（1）解：如图l，∵△AOB为等边三角形，
∴∠BAC=∠AOB=60．
∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90°，
∴∠ACB=30°，∠OBC=30°
∴∠ACB=∠OBC，
∴CO=OB=AB=OA=3，
∴AC=6，
∴BC=

3

2

AC=3

3

；

（2）如图2，过点Q作x轴垂线，垂足为H，则QH=AQ?sin60°=

3 (3?t)

2

．
需要分类讨论：当△PHQ∽△ABC时，

PH

AB

=

HQ

BC

，即=

3? 3?t 2 +t

3

=

3 (3?t) 2

3 3

，
解得，t=0．
同理，当△QHP∽△ABC时，t=1．
综上所述，t=0或t=1；

（3）解：如图1，过点Q作QN∥OB交x轴于点N．
∴∠QNA=∠BOA=60°=∠QAN，
∴QN=QA
∴△AQN为等边三角形，
∴NQ=NA=AQ=3-t，
∴ON=3-（3-t）=t，
∴PN=t+t=2t，
∴OE∥QN．
∴△POE∽△PNQ
∴

OE

QN

＝

PO

PN

，
∴

OE

3?t

＝

1

2

，
∴