Question

（甲）已知圆C的方程是x2+（y-1）2=5，直线l的方程是mx-y+1-m=0（1）求证：对于任意的m∈R，直线l与圆C恒

（甲）已知圆C的方程是x2+（y-1）2=5，直线l的方程是mx-y+1-m=0（1）求证：对于任意的m∈R，直线l与圆C恒有两个交点（2）设直线l与圆C交于A、B两点，求AB中点M的轨迹方程．

Answer 1

（1）由于直线l的方程是mx-y+1-m=0，即 y-1=m（x-1），经过定点H（1，1），
而点H到圆心C（0，1）的距离为1，小于半径

5

，故点H在圆的内部，故直线l与圆C相交，
故直线和圆恒有两个交点．
（2）设AB中点M（x，y），当AB的斜率存在时，由题意可得CM⊥AB，故有K_AB?K_CM=-1．
再由 K_AB=K_MH=

y?1

x?1

，K_CM=

y?1

x?0

，∴

y?1

x?1

?

y?1

x?0

=-1，化简可得(x?

1

2

)2+（y-1）²=

1

4

，
即AB中点M的轨迹方程为 (x?

1

2

)2+（y-1）²=

1

4

．
当AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x=1，此时AB的中点M的坐标为（1，1），
也满足 (x?

1

2

)2+（y-1）²=

1

4

．
综上可得，AB中点M的轨迹方程为 (x?

1

2

)2+（y-1）²=

1

4

．