Question

函数y=cos2x?sinx，x∈(0，π2]的最大值是293293

函数y=cos2x?sinx，x∈(0，π2]的最大值是293293．

Answer 1

∵函数y=cos²x?sinx=（1-sin²x）sinx=sinx-sin³x，x∈(0，

π

2

]，
∴0＜sinx≤1．
令t=sinx∈（0，1]，则 y=f（t）=t-t³，f′（t）=1-3t²．
令f′（t）=0，解得 t=

3

3

．
在（0，

3

3

）上，f′（t）＞0，故函数f（t）为增函数；
在（

3

3

，1]上，f′（t）＜0，故函数f（t）为减函数，
故当t=

3

3

时，函数 f（t）取得最大值为 f（

3

3

）=

3

9

3

-

1

9

3

=

2

9

3

，
故答案为

2

9

3

．