Question

如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E、F分别是边BC、CD的中点，直线EF交边AD的延长线于点M，连接B

如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E、F分别是边BC、CD的中点，直线EF交边AD的延长线于点M，连接BD．（1）求证：四边形DBEM是平行四边形；（2）若BD=DC，连接CM，求证：四边形ABCM为矩形．

Answer 1

解答：（1）证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，即DM∥BE，
∵E、F分别是边BC、CD的中点
∴EF∥BD，
∴四边形DBEM是平行四边形．

（2）证明：连接DE，
∵DB=DC，且E是BC中点，∴DE⊥BC，
∴DE∥AB．
又∵AB⊥BC，
∴AB∥DE
∵由（1）知四边形DBEM是平行四边形，
∴DM∥BE且DM=BE，
∴DM∥EC且DM=EC，
∴四边形DMCE是平行四边形，
∴CM∥DE，
∴AB∥CM．
又AM∥BC∴四边形ABCM是平行四边形，
∵AB⊥BC，∴四边形ABCM是矩形．