Question

计算二重积分∫∫D(x+y)dxdy，其中D={（x，y）|x2+y2≤x+y+1}

计算二重积分∫∫D(x+y)dxdy，其中D={（x，y）|x2+y2≤x+y+1}．

Answer 1

做变量代换X＝x?

1

2

，Y＝y?

1

2

，
则D={（x，y）|x²+y²≤x+y+1}={（X，Y）|X²+Y²≤

3

2

}，
所以：
I=

?

D

(x+y)dxdy=

?

D

(X+Y+1)dXdY=

?

D

XdXdY+

?

D

YdXdY+

?

D

dXdY．
因为D在（X，Y）坐标系下是一个圆，且X，Y分别是关于X，Y的奇函数，
所以有：

?

D

XdXdY=0，

?

D

YdXdY=0，
又：易知 

?

D

dXdY=S_D=

3

2

π，
所以：I=

3

2

π．