Question

设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则（　　）A．λE-A=λE-BB．A与B有相同的特征值和特征向

设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则（　　）A．λE-A=λE-BB．A与B有相同的特征值和特征向量C．A与B都相似于一个对角矩阵D．对于任意常数t，tE-A与E-B相似

Answer 1

（1）对于选项A．
若λE-A=λE-B，则：A=B，但题目仅仅是A与B相似，并不能推出A=B，
故A错误；
（2）对于选项B．
相似的矩阵具有相同的特征值，这个是相似矩阵的性质，这是由它们的特征多项式相同决定的，
但并不意味着它们具有相同的特征向量．
故B错误；
（3）对于选项C．
一个n阶矩阵能对角化的前提条件是，这个矩阵有n个线性无关的特征向量，
但题设并不能得出矩阵A或B有n个线性无关的特征向量．
故C错误；
（4）对于选项D．由于A与B相似，因此存在可逆矩阵P，使得P^-1AP=B，从而对于任意常数t，有P^-1（tE-A）P=tP^-1EP-P^-1AP=tE-B，即对于任意常数t，tE-A与E-B相似．
故D正确．
故选：D．