Question

设随机变量X和Y分别服从正态分布N（1，32）和N（0，42），且X与Y的相关系数ρxy=-12，设Z=X3+Y2，（1）求

设随机变量X和Y分别服从正态分布N（1，32）和N（0，42），且X与Y的相关系数ρxy=-12，设Z=X3+Y2，（1）求Z的数学期望EZ和DZ方差．（2）求X与Z的相关系数ρxz．（3）问X与Z是否相互独立？为什么？

Answer 1

（1）
∵X和Y分别服从正态分布N（1，3²）和N（0，4²），
∴由数学期望的性质，有：
EZ＝E(

X

3

+

Y

2

)＝

1

3

EX+

1

2

EY＝

1

3

?1+

1

2

?0＝

1

3

，
由方差和协方差的关系以及方差和协方差的性质，有：
DZ＝D(

X

3

)+D(

Y

2

)+2Cov(

X

3

，

Y

2

)=

1

9

DX+

1

4

DY+2?

1

3

?

1

2

Cov(X，Y)=5+

1

3

Cov(X，Y)，
又X与Y的相关系数：ρ_xy=-

1

2

，
而：ρXY＝

Cov(X，Y)

DX DY

，
∴Cov(X，Y)＝?

1

2

?3?4＝?6，
∴DZ=5-2=3．

（2）
∵Cov(X，Z)＝Cov(X，

X

3

+

Y

2

)
=Cov(X，

X

3

)+Cov(X，

Y

2

)＝

1

3

Cov(X，X)+

1

2

Cov（X，Y）=3+

1

2

Cov(X，Y)，
又：ρXZ＝

Cov(X，Z)

DX DZ

，Cov（X，Y）=-6，DZ=3，
∴ρXZ＝

3+ 1 2 ?(?6)

3? 3

＝0．

（3）
∵（X，Y）服从二维正态分布，而Z=

X

3

+

Y

2

也服从正态分布，
∴（X，Z）也服从二维正态分布，
由（2）知X与Z的相关系数：ρ_xz=0，
∴X与Z是相互独立的．