Question

已知，△ ABC 为等边三角形，点 D 为直线 BC 上一动点（点 D 不与 B 、 C 重合）．以 AD 为边作菱形 ADEF

已知，△ ABC 为等边三角形，点 D 为直线 BC 上一动点（点 D 不与 B 、 C 重合）．以 AD 为边作菱形 ADEF ，使∠DAF=60°，连接 CF ． （1）如图1，当点 D 在边 BC 上时，①求证：∠ ADB =∠ AFC ；②请直接判断结论∠ AFC =∠ ACB ＋∠ DAC 是否成立；（2）如图2，当点 D 在边 BC 的延长线上时，其他条件不变，结论∠ AFC =∠ ACB ＋∠ DAC 是否成立？若不成立，请写出∠ AFC 、∠ ACB 、∠ DAC 之间存在的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，当点 D 在边 CB 的延长线上时，且点 A 、 F 分别在直线 BC 的异侧，其他条件不变，请补全图形，并直接写出∠ AFC 、∠ ACB 、∠ DAC 之间存在的等量关系．

Answer 1

（1）可通过证明△ ABD ≌△ ACF ．∴∠ ADB =∠ AFC ． （2）结论∠ AFC =∠ ACB ＋∠ DAC 不成立．∠ AFC 、∠ ACB 、∠ DAC 之间的等量关系是： ∠ AFC =∠ ACB ∠ DAC （3） ， ，1，

试题分析：（1）①证明：∵△ ABC 为等边三角形， ∴ AB = AC ，∠ BAC =60°． ∵∠ DAF =60°，∴∠ BAC =∠ DAF ．∴∠ BAD =∠ CAF ． ∵四边形 ADEF 是菱形，∴ AD = AF ． ∴△ ABD ≌△ ACF ．∴∠ ADB =∠ AFC ．   ②结论：∠ AFC =∠ ACB ＋∠ DAC 成立．    （2）结论∠ AFC =∠ ACB ＋∠ DAC 不成立． ∠ AFC 、∠ ACB 、∠ DAC 之间的等量关系是： ∠ AFC =∠ ACB ∠ DAC （或这个等式的正确变式）． 证明：∵△ ABC 为等边三角形， ∴ AB = AC ，∠ BAC = 60°． ∵∠ DAF = 60°，∴∠ BAC =∠ DAF ，∴∠ BAD =∠ CAF ． ∵四边形 ADEF 是菱形，∴ AD = AF ． ∴△ ABD ≌△ ACF ，∴∠ ADC =∠ AFC ． 又∵∠ ACB =∠ ADC ＋∠ DAC ， ∴∠ AFC =∠ ACB －∠ DAC ．        （3）补全图形如下图： ∠ AFC 、∠ ACB 、∠ DAC 之间的等量关系是：∠ AFC =2∠ ACB －∠ DAC （或∠ AFC ＋∠ DAC ＋∠ ACB =180°以及这两个等式的正确变式）． 点评：本题难度较低，主要考查学生对：全等三角形性质和判定及四边形性质知识点的掌握，为中考常考题型，要求学生牢固掌握解题技巧。