Question

已知△ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对边分别为a，b，c．向量 m =(a，4cosB) ，

已知△ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对边分别为a，b，c．向量 m =(a，4cosB) ， n =(cosA，b) 满足 m ∥ n ．（1）求sinA+sinB的取值范围；（2）若A ∈(0， π 3 ) ，且实数x满足abx=a-b，试确定x的取值范围．

Answer 1

（1）∵ m ∥ n 由向量平行的坐标表示可得， a cosA = 4cosB b 即ab=4cosAcosB ∵△ABC的外接圆半径为1 由正弦定理可得，4sinAsinB=4cosAcosB ∴cosAcosB-sinAsinB=0即cos（A+B）=0 ∵0＜A+B＜π ∴A+B= 1 2 π 故△ABC为直角三角形 ∴sinA+sinB=sinA+cosA= 2 sin(A+ π 4 ) ∵ π 4 ＜A+ π 4 ＜ 3π 4 ∴ 2 2 ＜sin(A+ π 4 )≤1 ∴ 1＜sinA+sinB≤ 2 （2）由题意可得，x= a-b ab = sinA-sinB 2sinAsinB = sinA-cosA 2sinAcosA 设t=sinA-cosA（ -1＜t＜ 3 -1 2 ），则2sinAcosA=1-t 2 ∴x= t 1- t 2 ∵= 1+ t 2 (1- t 2 ) 2 ＞0 故x= t 1- t 2 在（-1， 3 -1 2 ）上单调递增 ∴ t 1- t 2 ＜ 3 -1 2 1-( 3 -1 2 ) 2 = 3- 3 3 ∴x的取值范围是 x＜ 3- 3 3