Question

已知直线l与函数f（x）=lnx的图象相切于点（1，0），且l与函数 g(x)= 1 2 x 2 +mx+ 7

已知直线l与函数f（x）=lnx的图象相切于点（1，0），且l与函数 g(x)= 1 2 x 2 +mx+ 7 2 （m＜0）的图象也相切．（Ⅰ）求直线l的方程及m的值；（Ⅱ）设 h(x)=ag(x)-f(x)+2ax- 7 2 a ，若 h(x)≥ 1 2 恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵ f′(x)= 1 x ，直线l是函数f（x）=lnx的图象在点（1，0）处的切线， ∴其斜率为k=f′（1）=1 ∴直线l的方程为y=x-1． 又因为直线l与g（x）的图象相切， 由 y=x-1 y= 1 2 x 2 +mx+ 7 2 ? 1 2 x 2 +(m-1)x+ 9 2 =0 ， 得△=（m-1） 2 -9=0?m=-2（m=4不合题意，舍去） （Ⅱ）∵ g(x)= 1 2 x 2 -2x+ 7 2 由 h(x)= a 2 x 2 -2ax+ 7a 2 -lnx+2ax- 7a 2 = a 2 x 2 -lnx≥ 1 2 恒成立， 得 a≥ 1+2lnx x 2 (x＞0) 恒成立 设 ?(x)= 1+2lnx x 2 ，则 ?′(x)= -4lnx x 3 当0＜x＜1时，?′（x）＞0；当x＞1时，?′（x）＜0． 于是，?（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减． 故φ（x）的最大值为? max （x）=?（1）=1 要使a≥?（x）恒成立，只需a≥1， ∴a的取值范围为[1，+∞）