Question

（2011?通州区一模）如图．四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥底面ABCD．PA=AD=1，AB=2．M，N，H分别为AB、P

（2011?通州区一模）如图．四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥底面ABCD．PA=AD=1，AB=2．M，N，H分别为AB、PC、PD的中点．（I）求证：NH∥平面PAB；（II）求证：MN⊥平面PCD；（III） 求三棱锥C-DMN的体积．

Answer 1

（I）证明：连接AH，则
∵N，H分别为PC、PD的中点，
∴NH∥CD，且NH=

1

2

CD
∵AB∥CD，AB=CD
∴NH∥AB，且NH=

1

2

AB
∵M为AB的中点
∴NH∥AM，且NH=AM
∴四边形AHNM是平行四边形
∴MN∥AH
∵MN?平面PAB，AH?平面PAB
∴NH∥平面PAB；
（II）证明：∵四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥底面ABCD
∴CD⊥AD，CD⊥PA
∵AD∩PA=A
∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥AH
∵PA=AD，H为PD的中点，
∴AH⊥PD
∵CD∩PD=D
∴AH⊥平面PCD
∵MN∥AH
∴MN⊥平面PCD；
（III）解：过H作HE⊥平面ANCD，则HE=

1

2

∵NH∥AB，NH?c，AB?平面ABCD
∴NH∥平面ABCD
∴N到平面DMN的距离为

1

2

∴三棱锥C-DMN的体积为

1

3

×

1

2

×

2

×1×

1

2

=

2

12

．