Question

如图，已知直线y=-12x+2与抛物线y=a （x+2）2相交于A、B两点，点A在y轴上，M为抛物线的顶点．（1）请直接

如图，已知直线y=-12x+2与抛物线y=a （x+2）2相交于A、B两点，点A在y轴上，M为抛物线的顶点．（1）请直接写出点A的坐标及该抛物线的解析式；（2）若P为线段AB上一个动点（A、B两端点除外），连接PM，设线段PM的长为l，点P的横坐标为x，请求出l2与x之间的 函数关系，并直接写出自变量x的取值范围；（3）在（2）的条件下，线段AB上是否存在点P，使以A、M、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）A的坐标是（0，2），抛物线的解析式是y=

1

2

（x+2）²．
联立直线与抛物线解析式可得B点坐标为（-5，

9

2

）

（2）如图，P为线段AB上任意一点，连接PM，
过点P作PD⊥x轴于点D，
设P的坐标是（x，-

1

2

x+2），则在Rt△PDM中，
PM²=DM²+PD²
即l²=（-2-x）²+（-

1

2

x+2）²=

5

4

x²+2x+8，
P为线段AB上一个动点，故自变量x的取值范围为：-5＜x＜0，
答：l²与x之间的函数关系是l²=

5

4

x²+2x+8，自变量x的取值范围是-5＜x＜0．

（3）存在满足条件的点P，
连接AM，由题意得，AM=

OA2+OM2

=2

2

，
①当PM=PA时，

5

4

x²+2x+8=x²+（-

1

2

x+2-2）²，
解得：x=-4，
此时y=-

1

2

×（-4）+2=4，
∴点P₁（-4，4）；
②当PM=AM时，

5

4

x²+2x+8=（2

2

）²，
解得：x₁=-

8

5

    x₂=0（舍去），
此时y=-

1

2

×（-

8

5

）+2=

14

5

，
∴点P₂（-

8

5

，