设有一半径为R的球体，P0是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到P0距离的平方成正比（比
设有一半径为R的球体，P0是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到P0距离的平方成正比（比例常数k＞0），求球体的重心位置．...
设有一半径为R的球体，P0是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到P0距离的平方成正比（比例常数k＞0），求球体的重心位置．
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【解法1】用Ω表示球体，以Ω的球心为原点O，射线OP0 为x轴的正方向建立直角坐标系．如下图所示．
则点P0的坐标为（R，0，0），球面方程为 x2+y2+z2=R2．
设Ω 的重心位置为(
，
，
)．
由对称性可得，
＝0，
＝0．
由质心坐标的计算公式可得，
=
=
=
．
因为
((x?R)2+y2+z2)dxdydz=
(x2+y2+z2)dxdydz-2R
xdxdydz+
R2dxdydz，
=
dθ
dφ
r2r2sinφdr-0+
πR5
=
πR5+
πR5
=
πR5，
且
x((x?R)2+y2+z2)dxdydz=
x(x2+y2+z2+R2)dxdydz-2πR
x2dxdydz
=0-
x2dxdydz
=?
πR6，
所以
=?
．
故质心坐标为 (?
，0，0)．
【解法2】用Ω表示球体，Ω的球心为O，以固定点P0 作为坐标原点，以射线P0O为z轴的正方向建立直角坐标系．
设Ω 的重心位置为(
，
，
)．
由对称性，
＝0，
＝0．
由质心坐标的计算公式可得，
=
．
因为
(x2+y2+z2)dxdydz=
dθ
dφ
r2?r2sinφdr
=
πR5，
z(x2+y2+z2)dxdydz=
dθ
dφ
rsinφ?r2?r2sinφdr
=
πR6，
所以
=
则点P0的坐标为（R，0，0），球面方程为 x2+y2+z2=R2．
设Ω 的重心位置为(
. |
| x |
. |
| y |
. |
| z |
由对称性可得，
. |
| y |
. |
| z |
由质心坐标的计算公式可得，
. |
| x |
| ||
|
=
| ||
|
=
| ||
|
因为
| ? |
| Ω |
| ? |
| Ω |
| ? |
| Ω |
| ? |
| Ω |
=
| ∫ | 2π 0 |
| ∫ | π 0 |
| ∫ | R 0 |
| 4 |
| 3 |
=
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 3 |
=
| 32 |
| 15 |
且
| ? |
| Ω |
| ? |
| Ω |
| ? |
| Ω |
=0-
| 2πR |
| 3 |
| ? |
| Ω |
=?
| 8 |
| 15 |
所以
. |
| x |
| R |
| 4 |
故质心坐标为 (?
| R |
| 4 |
【解法2】用Ω表示球体，Ω的球心为O，以固定点P0 作为坐标原点，以射线P0O为z轴的正方向建立直角坐标系．
设Ω 的重心位置为(
. |
| x |
. |
| y |
. |
| z |
由对称性，
. |
| x |
. |
| y |
由质心坐标的计算公式可得，
. |
| z |
| ||
|
因为
| ? |
| Ω |
| ∫ | 2π 0 |
| ∫ |
0 |
| ∫ | 2Rcosθ 0 |
=
| 32 |
| 15 |
| ? |
| Ω |
| ∫ | 2π 0 |
| ∫ |
0 |
| ∫ | 2Rcosθ 0 |
=
| 8 |
| 3 |
所以
. |
| z |
