Question

（2004?杭州）二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图，已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B

（2004?杭州）二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图，已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）．（1）请判断实数a的取值范围，并说明理由；（2）设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当△AMC的面积为△ABC面积的54倍时，求a的值．

Answer 1

（1）由图象可知：a＜0
图象过点（0，1），
所以c=1，图象过点（1，0），
则a+b+1=0
当x=-1时，应有y＞0，则a-b+1＞0
将a+b+1=0代入，可得a+（a+1）+1＞0，
解得a＞-1
所以，实数a的取值范围为-1＜a＜0；

（2）此时函数y=ax²-（a+1）x+1，
M点纵坐标为：

4a?(a+1)2

4a

=

?(a?1)2

4a

，
图象与x轴交点坐标为：ax²-（a+1）x+1=0，
解得；x ₁=1，x ₂=

1

a

，
则AC=1-

1

a

=

a?1

a

，
要使S_△AMC=

1

2

×

?(a?1)2

4a

×

a?1

a

=

(1?a)3

8a2

=

5

4

S_△ABC=

5

4

?

a?1

2a

可求得a=

?3+ 5

2

．