Question

一道不等式证明题 高悬赏

a,b,c为正实数，求证：(a^3+3*b^3)/(5a+b)+(b^3+3*c^3)/(5b+c)+(c^3+3*a^3)/(5c+a)≥2/3*(a^2+b^2+c^2)
要较完整的过程

Answer 1

构造下凸函数：
f(s,t)＝(s^3+3t^3)/(5s+t)-(2/3)s^2,
则f(a,b)+f(b,c)+f(c,a)
≥3f((a+b+c)/3,(a+b+c)/3)
＝3·{[((a+b+c)/3)^3+3((a+b+c)/3)^3]/[5((a+b+c)/3)+(a+b+c)/3]-(2/3)·[(a+b+c)/3]^2}
＝0,
∴(a^3+3b^3)/(5a+b)+(b^3+3c^3)/(5b+c)+(c^3+3a^3)/(5c+a)-(2/3)(a^2+b^2+c^2)≥0,
故原不等式得。