Question

（2013?十堰模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，点A、B在圆O上，且∠BAC=12∠AOB，∠ABO的

（2013?十堰模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，点A、B在圆O上，且∠BAC=12∠AOB，∠ABO的平分线交AO于E．（1）求证：直线AC是⊙O的切线；（2）求⊙O半径的长；（3）求AEAO的值．

Answer 1

（1）证明：如图，过点O作OF⊥AB于F，
由垂径定理得，∠AOF=

1

2

∠AOB，
∵∠BAC=

1

2

∠AOB，
∴∠BAC=∠AOF，
∴∠BAC+∠OAF=∠AOF+∠OAF=180°-90°=90°，
∴OA⊥AC，
∵点A在⊙O上，
∴直线AC是⊙O的切线；

（2）解：∵∠ACB=90°，BC=4，AC=3，
∴AB=

AC2+BC2

=

32+42

=5，
∴AF=

1

2

AB=

5

2

，
∵∠BAC=∠AOF，∠ACB=∠AFO=90°，
∴△ABC∽△AOF，
∴

AO

AB

=

AF

BC

，
即

AO

5

=

5 2

4

，
解得AO=

25

8

，
即，⊙O半径的长

25

8

；

（3）解：∵BE是∠ABO的平分线，
∴

AE

OE

=

AB

OB

=

5

25 8

=

8

5

，
∴

AE

AO

=

8

5+8

=

8

13

．