Question

（本题满分14分，其中第（1）、（2）小题各4分，第（3）小题6分）已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，

（本题满分14分，其中第（1）、（2）小题各4分，第（3）小题6分）已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 的图像经过点 A （-1,1）和点 B （2,2），该函数图像的对称轴与直线 OA 、 OB 分别交于点 C 和点 D ． 小题1:（1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴；小题2:（2）求证：∠ ABO =∠ CBO ；小题3:（3）如果点 P 在直线 AB 上，且△ POB 与△ BCD 相似，求点 P 的坐标．

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Answer 1

小题1:（1）解：由题意，得 ………………………………………（1分） 解得 ………………………………………………………………（1分） ∴所求二次函数的解析式为 ．……………………（1分） 对称轴为直线 x =1． 小题2:（2）证明：由直线 OA 的表达式 y =- x ，得点 C 的坐标为（1,-1）．…………（1分） ∵ ， ，∴ AB = BC ．…………………………………（1分） 又∵ ， ，∴ OA = OC ．………………………………（1分） ∴∠ ABO =∠ CBO ． 小题3:（3）解：由直线 OB 的表达式 y = x ，得点 D 的坐标为（1,1）．………………（1分） 由直线 AB 的表达式 ， 得直线与 x 轴的交点 E 的坐标为（-4,0）．………………………………（1分） ∵△ POB 与△ BCD 相似，∠ ABO =∠ CBO ， ∴∠ BOP =∠ BDC 或∠ BOP =∠ BCD ． （i）当∠ BOP =∠ BDC 时，由∠ BDC ==135°，得∠ BOP =135°． ∴点 P 不但在直线 AB 上，而且也在 x 轴上，即点 P 与点 E 重合． ∴点 P 的坐标为（-4,0）．…………………………………………………（2分） （ii）当∠ BOP =∠ BCD 时， 由△ POB ∽△ BCD ，得 ． 而 ， ， ，∴ ． 又∵ ，∴ ． 作 PH ⊥ x 轴，垂足为点 H ， BF ⊥ x 轴，垂足为点 F ． ∵ PH ∥ BF ，∴ ． 而 BF =2， EF =6，∴ ， ． ∴ ． ∴点 P 的坐标为（ , ）．………………………………………………（2分） 综上所述，点 P 的坐标为（-4,0）或（ , ）

略