Question

如图，AB是⊙O的直径，且AB=5，弦AC=4，作OD⊥AC于点D，连结BD并延长BD交⊙O于点E，连结AE、BC．（0）求

如图，AB是⊙O的直径，且AB=5，弦AC=4，作OD⊥AC于点D，连结BD并延长BD交⊙O于点E，连结AE、BC．（0）求证：BC=2DO；（2）求BD的长；（多）求AE的长．

Answer 1

（1）证明：∵OD⊥AC，
∴AD=CD，
而AO=BO，
∴OD为△ABC的中位线，
∴BC=2DO；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
在Rt△ABC中，∵AB=l，AC=4，
∴BC=

AB2?AC2

=3，
在Rt△CDB中，∵CD=

1

2

AC=2，BC=3，
∴BD=

CD2+BC2

=

13

；
（3）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠E=90°，
而∠DAE=∠CBD，
∴Rt△ADE∽Rt△BDC，
∴

AE

BC

=

AD

BD

，即

AE

3

=

2

13

，
∴AE=

5 13

13

．