在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=120°，取一把含30°角三角板，把30°角的顶点放在边BC的中点P处，三角板绕点
在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=120°，取一把含30°角三角板，把30°角的顶点放在边BC的中点P处，三角板绕点P旋转．（1）如图1，当三角板的两边分别交边AB...
在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=120°，取一把含30°角三角板，把30°角的顶点放在边BC的中点P处，三角板绕点P旋转．（1）如图1，当三角板的两边分别交边AB、AC于点E、F，连接EF，请说明△BPE∽△CFP；（2）操作：将三角板绕点P旋转到图2情形时，三角板的两边分别交CA的延长线、边AB于点F、E，连接EF．①探究1：△BPE与△CFP相似吗？请说明理由；②探究2：△BPE与△PFE相似吗？请说明理由；（3）设AE=x，EF=y，求y与x的函数分析式，并写出自变x的取值范围．
展开
1个回答
展开全部
（1）证明：如图1，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°．
∵∠EPC=∠B+∠BEP=∠EPF+∠FPC，∠B=∠EPF=30°，
∴∠BEP=∠FPC，
∴△BPE∽△CFP．
（2）①△BPE∽△CFP．
证明：如图2，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°．
∵∠EPC=∠B+∠BEP=∠EPF+∠FPC，∠B=∠EPF=30°，
∴∠BEP=∠FPC，
∴△BPE∽△CFP．
②△BPE∽△PFE．
证明：∵△BPE∽△CFP，
∴
=
．
∵BP=CP，
∴
=
．
∵∠B=∠EPF=30°，
∴△BPE∽△PFE．
（3）连接AP，过点P作PD⊥AB于D，如图3，
∵AB=AC，P为BC中点，
∴AP⊥BC．
∵∠B=30°，
∴AP=
AB=4，
∴BP=
=4
．
∴PD=
BP=2
，
∴BD=
=6，
∴DE=|BD-BE|=|6-（8-x）|=|x-2|，
∴PE2=PD2+DE2=（2
）2+（x-2）2=x2-4x+16．
∵△BPE∽△PFE（已证），
∴
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°．
∵∠EPC=∠B+∠BEP=∠EPF+∠FPC，∠B=∠EPF=30°，
∴∠BEP=∠FPC，
∴△BPE∽△CFP．
（2）①△BPE∽△CFP．
证明：如图2，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°．
∵∠EPC=∠B+∠BEP=∠EPF+∠FPC，∠B=∠EPF=30°，
∴∠BEP=∠FPC，
∴△BPE∽△CFP．
②△BPE∽△PFE．
证明：∵△BPE∽△CFP，
∴
| BE |
| CP |
| PE |
| FP |
∵BP=CP，
∴
| BE |
| BP |
| PE |
| FP |
∵∠B=∠EPF=30°，
∴△BPE∽△PFE．
（3）连接AP，过点P作PD⊥AB于D，如图3，
∵AB=AC，P为BC中点，
∴AP⊥BC．
∵∠B=30°，
∴AP=
| 1 |
| 2 |
∴BP=
| AB2?AP2 |
| 3 |
∴PD=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
∴BD=
| BP2?PD2 |
∴DE=|BD-BE|=|6-（8-x）|=|x-2|，
∴PE2=PD2+DE2=（2
| 3 |
∵△BPE∽△PFE（已证），
∴
| BE |
