Question

如图，D是等边△ABC外的一点，DB=DC，∠BDC=120°，且E、F分别在AB和AC上．（1）求证：AD是BC的垂直平分

如图，D是等边△ABC外的一点，DB=DC，∠BDC=120°，且E、F分别在AB和AC上．（1）求证：AD是BC的垂直平分线； （2）若ED平分∠BEF，证明：①FD平分∠EFC；②△AEF的周长是BC长的2倍．

Answer 1

证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∴A在BC的垂直平分线上，
∵BD=DC，
∴D在BC的垂直平分线上，
∴AD是BC的垂直平分线；

（2）①
过D作DM⊥EF，连接AD，
∵AD是BC的垂直平分线，
∴AD平分∠BAC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD=DC，∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
∴DB⊥AB，DC⊥AC，
∵DM⊥EF，ED平分∠BEF，AD平分∠BAC，
∴BD=DM，BD=DC，
∴DM=DC，
∴FD平分∠EFC；
②
∵DE平分∠BEF，DB⊥AB，DM⊥EF，DF平分∠CFE，
∴DB=DM，DM=DC，∠EBD=∠EMD=90°，
在△EBD和△EMD中

∠EBD＝∠EMD ∠BED＝∠MED DE＝DE

，
∴△EBD≌△EMD，
∴EM=BE，
同理FC=FM，
∴EF=BE+CF，
∴△AEF的周长是AE+EF+AF=AE+BE+CF+AF=2AB=2BC．