Question

如图所示，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，

如图所示，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，请回答下列问题．（1）DE与BE相等吗？请说明理由；（2）判断BC，DE，EF三者的数量关系，并说明理由；（3）平行线DE，BC之间的距离与DF的长度有何数量关系，为什么？

Answer 1

（1）DE=BE，理由如下：
∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC．
又BD平分∠ABC，∴∠EDB=∠EBD，∴DE=BE．

（2）BC=DE+EF，理由如下：
∵∠FBD=∠CBD，∠DFB=∠DCB=90°，BD=BD，
∴△BDF≌△BDC．
∴BC=BF．
∴BC=BE+EF=DE+EF．

（3）平行线DE，BC之间的距离等于DF的长，理由如下：
根据（2）中已证明的全等三角形得DF=DC，即平行线DE，BC之间的距离等于DF的长．