Question

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=1，∠BAC=90°，且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60°，设AA1=a．（1）求

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=1，∠BAC=90°，且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60°，设AA1=a．（1）求a的值；（2）求直线B1C1到平面A1BC的距离．

Answer 1

（1）∵BC∥B₁C₁，
∴∠A₁BC就是异面直线A₁B与B₁C₁所成的角，
即∠A₁BC=60°，…（2分）
又连接A₁C，AB=AC，
则A₁B=A₁C，
∴△A₁BC为等边三角形，…（4分）
由AB=AC=1，∠BAC=90°
∴BC＝

2

，
∴A1B＝

2

?

1+a2

＝

2

?a＝1．…（6分）
（2）易知B₁C₁∥平面A₁BC，此时有B₁C₁上的任意一点到平面A₁BC的距离等于点B₁到平面A₁BC的距离．…（8分）
设其为d，连接B₁C，
由VB1?A1BC＝VC? A1B1B求d，
又∵CA⊥A₁A，CA⊥AB，
∴CA⊥平面A₁B₁C，并且AC=1，．
因为△A₁B₁B的面积S＝

1

2

，并且△A₁BC的面积S′＝

3

4

?(

2

)2＝

3

2

，…（10分）
所以

1

3

?S?AC＝

1

3

?S′?d即d＝

3

3

，
所以B₁C₁到平面A₁BC的距离等于

3

3

．…（12分）