Question

已知函数 f(x)=lnx-ax+ 1-a x -1(a∈R) （1）当 0＜a≤ 1 2 时，求f（x）的单调区间

已知函数 f(x)=lnx-ax+ 1-a x -1(a∈R) （1）当 0＜a≤ 1 2 时，求f（x）的单调区间（2）设g（x）=x 2 -2bx+4，当 a= 1 4 时，若对任意x 1 ∈（0，2），存在x 2 ∈[1，2]，使f（x 1 ）≥g（x 2 ），求实数b的取值范围．

Answer 1

（1）f（x）=lnx-ax+ 1-a x -1（x＞0），f′（x）= 1 x -a+ a-1 x 2 = -a x 2 +x+a-1 x 2 （x＞0） 令h（x）=ax 2 -x+1-a（x＞0） 当a≠0时，由f′（x）=0，即ax 2 -x+1-a=0，解得x 1 =1，x 2 = 1 a -1． 当a= 1 2 时x 1 =x 2 ，h（x）≥0恒成立，此时f′（x）≤0，函数f（x）单调递减； 当0＜a＜ 1 2 时， 1 a -1＞1＞0，x∈（0，1）时h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减； x∈（1， 1 a -1）时，h（x）＜0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增； x∈（ 1 a -1，+∞）时，h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减． 综上所述：当a= 1 2 时x 1 =x 2 ，h（x）≥0恒成立，此时f′（x）≤0，函数f（x）在（0，+∞）单调递减； 当0＜a＜ 1 2 时，函数f（x）在（0，1）单调递减，（1， 1 a -1）单调递增，（ 1 a -1，+∞）单调递减． （2）当a= 1 4 时，f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意x 1 ∈（0，2）， 有f（x 1 ）≥f（1）=- 1 2 ， 又已知存在x 2 ∈[1，2]，使f（x 1 ）≥g（x 2 ），所以- 1 2 ≥g（x 2 ），x 2 ∈[1，2]，（※） 又g（x）=（x-b） 2 +4-b 2 ，x∈[1，2] 当b＜1时，g（x） min =g（1）=5-2b＞0与（※）矛盾； 当b∈[1，2]时，g（x） min =g（b）=4-b 2 ≥0也与（※）矛盾； 当b＞2时，g（x）min=g（2）=8-4b≤- 1 2 ，b≥ 17 8 ． 综上，实数b的取值范围是[ 17 8 ，+∞）．