Question

已知函数f（x）=（2x 2 -4ax）lnx+x 2 （a＞0）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）对?x∈[1，+∞），

已知函数f（x）=（2x 2 -4ax）lnx+x 2 （a＞0）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）对?x∈[1，+∞），不等式（2x-4a）lnx＞-x恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）f′（x）= 1 x (2 x 2 -4ax)+lnx(4x-4a)+2x =4x-4a+lnx（4x-4a）=4（x-a）（lnx+1），（x＞0）． ①若0＜a＜ 1 e ，当x∈（0，a），x∈（ 1 e ，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（a， 1 e ）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 所以f（x）的单调递增区间是（0，a），（ 1 e ，+∞）；单调递减区间是（a， 1 e ）． ②若a= 1 e ，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增． ③若a＞ 1 e ，当x∈（0， 1 e ），x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（ 1 e ，a）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 所以f（x）的单调递增区间是（0， 1 e ），（a，+∞）；单调递减区间是（ 1 e ，a）． （2）因为x≥1，所以由（2x-4a）lnx＞-x，得 （2x 2 -4ax）lnx+x 2 ＞0，即函数f（x）＞0对x≥1恒成立， 由（Ⅰ）可知，当0＜a≤ 1 e 时，f（x）在，[1，+∞）上单调递增，则f（x） min =f（1）＞0，成立，故0＜a≤ 1 e ． 当 1 e ＜a≤1，则f（x）在[1，+∞）上单调递增，f（x） min =f（1）=1＞0恒成立，符合要求． 当a＞1时，f（x）在（1，a）上单调递减，（a，+∞）上单调递增，则 f（x） min =f（a）＞0，即（2a 2 -4a 2 ）lna+a 2 ＞0，1＜a＜ e ． 综上所述，0＜a＜ e ．