如图所示,P是⊙O外一点,PA是⊙O的切线,A是切点,B是⊙O 上一点,且PA=PB,连接AO、BO、AB,并延长BO与
如图所示,P是⊙O外一点,PA是⊙O的切线,A是切点,B是⊙O上一点,且PA=PB,连接AO、BO、AB,并延长BO与切线PA相交于点Q.(1)求证:PB是⊙O的切线;(...
如图所示,P是⊙O外一点,PA是⊙O的切线,A是切点,B是⊙O 上一点,且PA=PB,连接AO、BO、AB,并延长BO与切线PA相交于点Q.(1)求证:PB是⊙O的切线;(2)求证:AQ?PQ=OQ?BQ;(3)设∠AOQ=α,若cosα=45,OQ=15,求AB的长.
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(1)证明:连接OP,与AB交于点C.
∵PA=PB,OA=OB,OP=OP,
∴△OAP≌△OBP(SSS),
∴∠OBP=∠OAP,
∵PA是⊙O的切线,A是切点,
∴∠OAP=90°,
∴∠OBP=90°,即PB是⊙O的切线;
(2)证明:∵∠Q=∠Q,∠OAQ=∠QBP=90°,
∴△QAO∽△QBP,
∴
=
,即AQ?PQ=OQ?BQ;
(3)连OP并交AB于点C,
在Rt△OAQ中,∵OQ=15,cosα=
,
∴OA=12,AQ=9,
∴QB=27;
∵
=
,
∴PQ=45,即PA=36,
∴OP=12
;
∵∠APO=∠APO,∠PAO=∠PCA=90°
∴△PAC∽△POA,
∴
=
,
∴PA?OA=OP?AC,即36×12=12
?AC,
∴AC=
,故AB=
.
∵PA=PB,OA=OB,OP=OP,
∴△OAP≌△OBP(SSS),
∴∠OBP=∠OAP,
∵PA是⊙O的切线,A是切点,
∴∠OAP=90°,
∴∠OBP=90°,即PB是⊙O的切线;
(2)证明:∵∠Q=∠Q,∠OAQ=∠QBP=90°,
∴△QAO∽△QBP,
∴
AQ |
BQ |
OQ |
PQ |
(3)连OP并交AB于点C,
在Rt△OAQ中,∵OQ=15,cosα=
4 |
5 |
∴OA=12,AQ=9,
∴QB=27;
∵
AQ |
BQ |
OQ |
PQ |
∴PQ=45,即PA=36,
∴OP=12
10 |
∵∠APO=∠APO,∠PAO=∠PCA=90°
∴△PAC∽△POA,
∴
PA |
PO |
AC |
AO |
∴PA?OA=OP?AC,即36×12=12
10 |
∴AC=
18 |
5 |
10 |
36 |
5 |
10 |
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