Question

（2014?石家庄二模）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC，∠BAC=120°，且AB=AC=AP=1，M为PB的中点，N在BC

（2014?石家庄二模）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC，∠BAC=120°，且AB=AC=AP=1，M为PB的中点，N在BC上，且AN=BN．（Ⅰ）求证：AB⊥MN；（Ⅱ）求点P到平面NMA的距离．

Answer 1

（1）证明：取AB中点Q，连接MQ、NQ，
∵AN=BN，∴NQ⊥AB，…（2分）
∵PA⊥面ABC，∴PA⊥AB，又∵MQ∥PA，
∴MQ⊥AB，…（4分）
∴AB⊥平面MNQ，又MN?平面MNQ，
∴AB⊥MN．…（6分）
（2）设点P到平面NMA的距离为h，
∵M为PB的中点，∴S_△PAM=

1

2

S△PAB=

1

4

，
又NQ⊥AB，NQ⊥PA，∴NQ⊥面PAB，
∵∠ABC=30°，∴NQ=

3

6

，…（7分）
又MN=

NQ2+MQ2

=

3

3

，AN=

3

3

，AM=

2

2

，…（9分）
△NMA边AM上的高为

30

12

，
∴S_△NMA=

1

2

?

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