Question

（2014?抚顺一模）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，连接AC，过点A作AD⊥CD于点D，交⊙

（2014?抚顺一模）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，连接AC，过点A作AD⊥CD于点D，交⊙O于点E．（Ⅰ）证明：∠AOC=2∠ACD；（Ⅱ）证明：AB?CD=AC?CE．

Answer 1

证明：（Ⅰ）连结BC，∵CD是⊙O的切线，C为切点，
∴∠ACD=∠ABC，
∵OB=OC，∴∠OCB=∠ABC，
又∵∠AOC=∠OCB+∠OBC，
∴∠AOC=2∠ACD．
（Ⅱ）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
又∵AD⊥CD于D，∴∠ADC=90°，
∵CD是⊙O的切线，C为切点，OC为半径，
∴∠OAC=∠CAE，且OC⊥CD，
∴OC∥AD，又∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA=∠CAE=∠ECD，
∴Rt△ABC∽Rt△CED，∴

AB

CE

＝

AC

CD

，
∴AB?CD=AC?CE．