Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，BM⊥PD，垂足为M．（1）求

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，BM⊥PD，垂足为M．（1）求证：AM⊥PD；（2）求直线CD与平面ACM所成角的余弦值．

Answer 1

（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD
∴PA⊥AB
又AB⊥AD，AD∩PA=A，AD?平面PAD，PA?平面PAD
∴AB⊥平面PAD
∵PD?平面PAD，∴AB⊥PD…（3分）
∵BM⊥PD，AB?平面ABM，AB∩BM=B
∴PD⊥平面ABM
∵AM?平面ABM，∴AM⊥PD…．（6分）
（2）解：如图，以点A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz…（7分）
则 A（0，0，0），P（0，0，2），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），M（0，1，1）
∴

AC

＝(1，2，0)，

AM

＝(0，1，1)，

CD

＝(?1，0，0)
设平面ACM的一个法向量为

n

＝(x，y，z)
由

n

⊥

AC

，

n

⊥

AM

，可得

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