Question

（2013?泰安）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．（1）证明：∠BAC=

（2013?泰安）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，使得∠EFD=∠BCD，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵在△ABC和△ADC中 ， 
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC， 
∵在△ABF和△ADF中 ，
∴△ABF≌△ADF，
∴∠AFD=∠AFB，
∵∠AFB=∠AFE， 
∴∠AFD=∠CFE；
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
又∵∠BAC=∠DAC， ∴∠CAD=∠ACD， 
∴AD=CD，
∵AB=AD，CB=CD， ∴AB=CB=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（3）当EB⊥CD时，∠EFD=∠BCD，
理由：∵四边形ABCD为菱形， 
∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，
在△BCF和△DCF中 ， 
∴△BCF≌△DCF（SAS），
∴∠CBF=∠CDF， 
∵BE⊥CD， 
∴∠BEC=∠DEF=90°，
∴∠EFD=∠BCD．

扩展资料

1. 同角（或等角）的余角相等。

2. 对顶角相等。

3. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。

4. 在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线是平行线。

5. 同位角相等，两直线平行。

6. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。

7. 直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

8. 在角平分线上的点到这个角的两边距离相等。及其逆定理。

9. 夹在两条平行线间的平行线段相等。夹在两条平行线间的垂线段相等。

10. 一组对边平行且相等、或两组对边分别相等、或对角线互相平分的四边形是平行四边形。

11. 有三个角是直角的四边形、对角线相等的平行四边形是矩形。

12 .菱形性质：四条边相等、对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

13. 正方形的四个角都是直角，四条边相等。两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

14. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对相等，那么它们所对应的其余各对量都相等。

15. 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对弧。平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

16. 直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似。

17. 相似三角形对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。相似三角形面积的比等于相似比的平方。

18. 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角。

19. 切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

20. 切线的性质定理①经过圆心垂直于切线的直线必经过切点。②圆的切线垂直于经过切点的半径。③经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。

21. 切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。连结圆外一点和圆心的直线，平分从这点向圆所作的两条切线所夹的角。

22. 弦切角定理弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

23. 相交弦定理；切割线定理；割线定理；

Answer 2

（1）证明：在△ABC和△ADC中，

AB＝AD BC＝DC AC＝AC

，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC，
在△ABF和△ADF中，

AB＝AD ∠BAF＝∠DAF AF＝AF

，
∴△ABF≌△ADF（SAS），
∴∠AFD=∠AFB，
∵∠AFB=∠CFE，
∴∠AFD=∠CFE；

（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
又∵∠BAC=∠DAC，
∴∠CAD=∠ACD，
∴AD=CD，
∵AB=AD，CB=CD，
∴AB=CB=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形；

（3）当EB⊥CD时，即E为过B且和CD垂直时垂线的垂足，∠EFD=∠BCD，
理由：∵四边形ABCD为菱形，
∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，
在△BCF和△DCF中，

BC＝CD ∠BCF＝∠DCF CF＝CF

，
∴△BCF≌△DCF（SAS），
∴∠CBF=∠CDF，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=∠DEF=90°，
∴∠EFD=∠BCD．

Answer 3

（1）证明：在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC ，

∴△ABC≌△ADC（SSS），

∴∠BAC=∠DAC，

在△ABF和△ADF中，

AB＝AD∠BAF＝∠DAFAF＝AF ，

∴△ABF≌△ADF（SAS），

∴∠AFD=∠AFB，

∵∠AFB=∠CFE，

∴∠AFD=∠CFE；

（2）证明：

∵AB∥CD，

∴∠BAC=∠ACD，

又∵∠BAC=∠DAC，

∴∠CAD=∠ACD，

∴AD=CD，

∵AB=AD，CB=CD，

∴AB=CB=CD=AD，

∴四边形ABCD是菱形；

（3）当EB⊥CD时，即E为过B且和CD垂直时垂线的垂足，∠EFD=∠BCD，

理由：∵四边形ABCD为菱形，

∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，

在△BCF和△DCF中，

BC＝CD∠BCF＝∠DCFCF＝CF，

∴△BCF≌△DCF（SAS），

∴∠CBF=∠CDF，

∵BE⊥CD，

∴∠BEC=∠DEF=90°，

∴∠EFD=∠BCD

扩展资料：

菱形：在同一平面内，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四边都相等的四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直平分且平分每一组对角，菱形是轴对称图形，对称轴有2条，即两条对角线所在直线，菱形是中心对称图形。