Question

在锐角△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acsinC=（a 2 +c 2 -b 2 ）sinB，（1）若 ∠C=

在锐角△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acsinC=（a 2 +c 2 -b 2 ）sinB，（1）若 ∠C= π 4 ，求∠A的大小．（2）若三角形为非等腰三角形，求 c b 的取值范围．

Answer 1

（1）∵acsinC=（a 2 +c 2 -b 2 ）sinB ∴ sinC sinB = a 2 + c 2 - b 2 ac =2× a 2 + c 2 - b 2 2ac =2cosB …（2分） 由此可得，sinC=2sinBcosB=sin2B…（3分） 因此，C=2B或C+2B=π…（4分） （i）若C=2B，结合 ∠C= π 4 ，可得 ∠B= π 8 ，所以 ∠A= 5π 8 …（5分） （ii）若C+2B=π，结合 ∠C= π 4 ，则 ∠B= 1 2 (π- π 4 )= 3π 8 ，可得 ∠A= 3π 8 …（6分） （2）∵三角形为非等腰三角形， ∴可得C+2B=π不能成立，故C=2B 由此可得∠A=π-B-C=π-3B…（8分） 又∵三角形为锐角三角形，∴ 0＜2B＜ π 2 ，0＜π-3B＜ π 2 因此，可得  π 6 ＜∠B＜ π 4 …（10分） 而  c b = sinC sinB =2cosB …（12分） ∵cosB∈（ 2 2 ， 3 2 ），∴可得 c b =2cosB = c b ∈( 2 ， 3 ) …（14分）