Question

如图，已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，E、F分别为AB、PD的中点，过AE、AF的平面交PC于点H，二面角P-C

如图，已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，E、F分别为AB、PD的中点，过AE、AF的平面交PC于点H，二面角P-CD-B为45°，PA=a．（Ⅰ）求证：AF ∥ EH；（Ⅱ）求证：平面PCE⊥平面PCD； （Ⅲ）求多面体ECDAHF的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵EA ∥ CD，CD?平面PCD，EA?平面PCD， ∴EA ∥ 平面PCD． 又平面EAFH∩平面PCD=HF，且EA?平面EAFH， ∴EA ∥ HF． ∴HF ∥ CD． ∵E、F分别是AB、PD的中点， ∴EA ∥ HF ∥ CD，EA=HF= 1 2 CD． ∴四边形EAFH是平行四边形． ∴AF ∥ EH．…（5分） （Ⅱ）证明：∵PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD是PD在平面ABCD内的射影， ∴PD⊥CD． ∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角，即∠PDA=45°． ∴△PAD是等腰Rt△，又F是斜边PD上的中点， ∴AF⊥PD． ∵AF在平面ABCD内的射影AD⊥CD， ∴AF⊥CD，而PD∩CD=D． ∴AF⊥平面PCD． ∵EH ∥ AF，∴EH⊥平面PCD． 又EH?平面PCE，∴平面PCE上平面PCD．…（9分） （Ⅲ）由上面的证明可知，PF⊥平面EAFH，四边形EAFH是矩形， ∵PA=AD=a， ∴ AF=PF= 2 2 a，HF= a 2 ． ∴ V P-EAFH = 1 3 AF?HF?PF= 1 3 ? 2 2 a? a 2 ? 2 2 a= a 3 12 ． V P-AECD = 1 3 ? 1 2 (EA+CD)?AD?PA = 1 6 ( a 2 +a)?a?a= a 3 4 ∴V 多面体ECDAHF =V P-AECD -V P-EAFH = a 3 4 - a 3 12 = a 3 6 ．…（13分）