Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，数列{an+Sn}是公差为2的等差数列．（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）证明数列{an

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，数列{an+Sn}是公差为2的等差数列．（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）证明数列{an-2}为等比数列；（Ⅲ）判断是否存在λ（λ∈Z），使不等式Sn-n+1≥λan对任意的n∈N*成立，若存在，求出λ的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）解：∵数列{a_n+S_n}是公差为2的等差数列，∴（a_n+1+S_n+1）-（a_n+S_n）=2，
即an+1＝

an+2

2

，（2分）∵a₁=1，∴a2＝

3

2

， a3＝

7

4

；（4分）
（Ⅱ）证明：由题意，得a₁-2=-1，∵

an+1?2

an?2

＝

an+2 2 ?2

an?2

＝

1

2

，∴{a_n-2}是首项为-1，公比为

1

2

的等比数列；（8分）
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得an?2＝?(

1

2

)n?1，∴an＝2?(

1

2

)n?1，∵{a_n+S_n}是首项为a₁+S₁=2，公差为2的等差数列，∴a_n+S_n=2+（n-1）×2=2n，∴Sn＝2n?2+(

1

2

)n?1，（9分）
设存在整数λ，使不等式S_n-n+1≥λa_n对任意的n∈N^*成立，
即存在整数λ，使不等式n?1+(

1

2

)n?1≥λ[2?(

1

2

)n?1]对任意的n∈N^*成立，∴当n=1时，不等式成立，解得λ≤1，（10分）
以下证明存在最大的整数λ=1，使不等式S_n-n+1≥λa_n对任意的n∈N^*成立．
当n=2时，不等式化简为

3

2

≥

3

2

，成立；
当n≥3时，∵(Sn?n+1)?an＝n?3+(

1

2

)n?2＞0，∴（S_n-n+1）＞a_n成立．
综上，知存在整数λ，使不等式S_n-n+1≥λa_n对任意的n∈N^*成立，且λ的最大值为1．（14分）