Question

已知函数 f(x)=lnx- x-1 x ．（1）判定函数f（x）的单调性；（2）设a＞1，证明

已知函数 f(x)=lnx- x-1 x ．（1）判定函数f（x）的单调性；（2）设a＞1，证明： lna a-1 ＜ 1 a ．

Answer 1

（1）f′（x）= 1 x - x -  1 2 x (x-1) x = 2 x -x-1 x x ，x∈（0，+∞） 当2 x -x-1≤0，即4x≤（x+1） 2 ，即（x-1） 2 ≥0，x∈（0，+∞）时f′（x）≤0恒成立， 所以f（x）在区间上（0，+∞）单调递减； （2）证明：由（1）得函数是单调减函数， 因为a＞1，所以得到f（a）＜f（1）即lna- a-1 a ＜0，即lna＜ a-1 a 即 lna a-1 ＜ 1 a ．