Question

如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，若AB=2，BC=1，求AG的长

如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，若AB=2，BC=1，求AG的长（ ）．

Answer 1

1. 作GM垂直于DB于点M。（途中虚线，标焦点为M）

2. 证明三角形ADG全等于三角形MDG：

因为 角ADG=角MDG，角A=角GMD=90度， DG=DG

所以三角形ADG全等于三角形MDG（AAS）

所以 AG=GE

3.  利用DGB的面积：

三角形DGB的面积=DB*GM*1/2=BG*DA*1/2

因为：

DB=根号下（DC平方+CB平方）=根号5

GM=AG

BG=AB-AG=2-AG

DA=1

所以：

DB*GM*1/2=BG*DA*1/2可化为：根号5*AG=（2-AG）*1

求得：AG=（根号5 - 1）/2

Answer 2

在△ABD中，AD=BC=1，AB=2，∴BD=√5
过G点向BD做垂线，GH⊥BD，交BD于H.
△AGD和△HGD中，AG=GH，AD=DH=1，DG=DG
在△GBH中，GH=AG，BH=BD-DH=√5-1，BG=AB-AG=2-AG
根据勾股定理：BG²=GH²+BH²
(2-AG)²=AG²+(√5-1)²
4-4AG+AG²=AG²+5-2√5+1
4AG=2√5-2
AG=(√5-1)/2=0.618

Answer 3

在Rt△ABD中，AB=2，AD=BC=1
∴BD=√AB²+AD²=4+1=√5
由折叠的性质可得，△ADG≌△A'DG，∴A'D=AD=1，A'G=AG，∴A'B=BD-A'D=√5-1
设AG=x，则A'G=AG=x，BG=2-x
在Rt△A'BG中，x²+(√5-1)²=(2-x)²解得x=√5/2-1/2
即AG=√5/2-1/2

Answer 4

解：由角平分线定理，AD/AG=BD/BG，即BG/AG=BD/AD，
∴(AG+BG)/AG=(AD+BD)/AD，即AB/AG=(AD+BD)/AD，
∴AG=AB×AD/(AD+BD)，
∵BD=√(AD²+AB²)=√5，∴AG=2/(1+√5)=(√5-1)/2。

Answer 5

设 AG = x，A 在DB上的对称点为 H， 则 GH = x，
DH = 1， HB = √5-1， BG = √[(√5-1)^2+x^2]
AB = x + √[(√5-1)^2+x^2] = 2,
(√5-1)^2+x^2 = (2-x)^2 = 4 - 4x + x^2
x = (√5-1)/2 ≈ 0.618