Question

若点（p，q），在|p|≤3，|q|≤3中按均匀分布出现．（1）点M（x，y）横、纵坐标分别由掷骰子确定，第一次

若点（p，q），在|p|≤3，|q|≤3中按均匀分布出现．（1）点M（x，y）横、纵坐标分别由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标，则点M（x，y）落在上述区域的概率？（2）试求方程x 2 +2px-q 2 +1=0有两个实数根的概率．

Answer 1

（1）根据题意，点（p，q），在|p|≤3，|q|≤3中，即在如图的正方形区域， 其中p、q都是整数的点有6×6=36个， 点M（x，y）横、纵坐标分别由掷骰子确定，即x、y都是整数，且1≤x≤3，1≤y≤3， 点M（x，y）落在上述区域有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），有9个点， 所以点M（x，y）落在上述区域的概率P 1 = 9 6×6 = 1 4 ； （2）|p|≤3，|q|≤3表示如图的正方形区域，易得其面积为36； 若方程x 2 +2px-q 2 +1=0有两个实数根，则有△=（2p） 2 -4（-q 2 +1）＞0， 解可得p 2 +q 2 ≥1，为如图所示正方形中圆以外的区域，其面积为36-π， 即方程x 2 +2px-q 2 +1=0有两个实数根的概率，P 2 = 36-π 36 ．