Question

已知函数f(x) 在R上满足f(x)=2f(2-x)-x 2 +8x-8，则f’(1)= &...

已知函数f(x) 在R上满足f(x)=2f(2-x)-x 2 +8x-8，则f’(1)= .

Answer 1

2

由f（x）=2f（2-x）-x 2 +8x-8可得f（2-x）=2f（x）-（2-x） 2 +8（2-x）-8=2f（x）-x 2 -4x+4，联立可求f（x） ∵f（x）=2f（2-x）-x 2 +8x-8 令t=x可得，f（t）=2f（2-t）-t 2 +8t-8① 令x=2-t可得f（2-t）=2f（t）-（2-t） 2 +8（2-t）-8=2f（t）-t 2 -4t+4② 把①②联立可得，f（t）=2[2f（t）-t 2 -4t+4]-t 2 +8t-8=4f（t）-3t 2 ∴f（x）=4f（x）-3x 2 ∴f（x）=x 2 所以f’(1)=2 故答案为：2