Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD=CD=2AB，E、F分别为PC、CD的中点，（Ⅰ

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD=CD=2AB，E、F分别为PC、CD的中点，（Ⅰ）试证：CD⊥平面BEF；（Ⅱ）设PA=k·AB，且二面角E-BD-C的平面角大于30°，求k的取值范围。

Answer 1

（Ⅰ）证明：由已知DF AB且∠DAB为直角， 故ABFD是矩形，从而CD⊥BF， 又PA⊥底面ABCD，CD⊥AD， 故由三垂线定理知CD⊥PD， 在△PDC中，E、F分别为PC、CD的中点， 故EF∥PD， 从而CD⊥EF， 由此得CD⊥面BEF；
（Ⅱ）解：如图，连接AC，交BF于G，易知G为AC的中点， 连接EG，则在△PAC中易知EG∥PA， 又因PA⊥底面ABCD，故EG⊥底面ABCD， 在底面ABCD中，过G作GH⊥BD，垂足为H， 连接EH，由三垂线定理知EH⊥BD， 从而∠EHG为二面角E-BD-C的平面角， 设AB=a，则在△PAC中，有 ， 以下计算GH，考虑底面的平面图（如图2）， 连结GD， 因 ， 故 ， 在△ABD中，因AB=a，AD=2a，得 ， 而 ， 从而得 ， 因此 ， 由k＞0知∠EHG是锐角， 故要使∠EHG＞30°，必须 ， 解之得，k的取值范围为 。