Question

如图1，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM=30°，∠OCD=45°．（1）将图1中的三角尺OCD沿AB

如图1，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM=30°，∠OCD=45°．（1）将图1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至图②的位置，使得点O与点N重合，CD与MN相交于点E，求∠CEN的度数；（2）将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD在∠MON的内部，如图3，且OD恰好平分∠MON，CD与MN相交于点E，求∠CEN的度数；（3）将图1中的三角尺OCD绕点O按每秒15°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第______秒时，边CD恰好与边MN平行；在第______秒时，直线CD恰好与直线MN垂直．（直接写出结果）

Answer 1

（1）在△CEN中，
∠CEN=180°-∠DCN-∠MNO
=180°-45°-30°
=105°；

（2）∵OD平分∠MON，
∴∠DON=

1

2

∠MPN=

1

2

×90°=45°，
∴∠DON=∠D=45°，
∴CD∥AB，
∴∠CEN=180°-∠MNO=180°-30°=150°；

（3）如图1，CD在AB上方时，设OM与CD相交于F，
∵CD∥MN，
∴∠OFD=∠M=60°，
在△ODF中，∠MOD=180°-∠D-∠OFD，
=180°-45°-60°，
=75°，
∴旋转角为75°，
t=75°÷15°=5秒；
CD在AB的下方时，设直线OM与CD相交于F，
∵CD∥MN，
∴∠DFO=∠M=60°，
在△DOF中，∠DOF=180°-∠D-∠DFO=180°-45°-60°=75°，
∴旋转角为75°+180°=255°，
t=255°÷15°=17秒；
综上所述，第5或17秒时，边CD恰好与边MN平行；
如图2，CD在OM的右边时，设CD与AB相交于G，
∵CD⊥MN，
∴∠NGC=90°-∠MNO=90°-30°=60°，
∴∠CON=∠NGC-∠OCD=60°-45°=15°，
∴旋转角为180°-∠CON=180°-15°=165°，
t=165°÷15°=11秒，
CD在OM的左边时，设CD与AB相交于G，
∵CD⊥MN，
∴∠NGD=90°-∠MNO=90°-30°=60°，
∴∠AOC=∠NGD-∠C=60°-45°=15°，
∴旋转角为360°-∠AOC=360°-15°=345°，
t=345°÷15°=23秒，
综上所述，第11或23秒时，直线CD恰好与直线MN垂直．
故答案为：5或17；11或23．