Question

已知函数f(x)＝alnx?1x，a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y=0垂直，求a的

已知函数f(x)＝alnx?1x，a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y=0垂直，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）当a=1，且x≥2时，证明：f（x-1）≤2x-5．

Answer 1

（Ⅰ）函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，f′(x)＝

a

x

+

1

x2

．
又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y=0垂直，
所以f'（1）=a+1=2，
即a=1．
（Ⅱ）由于f′(x)＝

ax+1

x2

．
当a≥0时，对于x∈（0，+∞），有f'（x）＞0在定义域上恒成立，
即f（x）在（0，+∞）上是增函数．
当a＜0时，由f'（x）=0，得x＝?

1

a

∈(0，+∞)．
当x∈(0，?

1

a

)时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈(?

1

a

，+∞)时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．
（Ⅲ）当a=1时，f(x?1)＝ln(x?1)?

1

x?1

x∈[2，+∞）．
令g(x)＝ln(x?1)?

1

x?1

?2x+5．g′(x)＝

1

x?1

+

1

(x?1)2

?2＝?

(2x?1)(x?2)

(x?1)2

．
当x＞2时，g′（x）＜0，g（x）在（2，+∞）单调递减．
又g（2）=0，所以g（x）在（2，+∞）恒为负．
所以当x∈[2，+∞）时，g（x）≤0．
即ln(x?1)?

1

x?1

?2x+5≤0．
故当a=1，且x≥2时，f（x-1）≤2x-5成立．