Question

如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．求证：①AM平分∠DAB，②AD=AB+CD

如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．求证：①AM平分∠DAB，②AD=AB+CD．

Answer 1

证明：（1）在AD上截取DN=DC，连接MN，
∵DM平分∠ADC，
∴∠NDM=∠CDM，
在△MDC和△MDN中

DN＝DC ∠NDM＝∠CDM DM＝DM

，
∴△MDC≌△MDN（SAS），
∴∠C=∠DNM=90°=∠ANM，CM=NM=BM，
∵∠B=90°，
∴∠B=∠ANM=90°，
在Rt△ABM和Rt△ANM中

AM＝AM BM＝MN

，
∴Rt△ABM≌Rt△ANM（HL），
∴AB=AN，∠BAM=∠NAM，
∴AM平分∠BAD．

（2）由（1）知：AB=AN，DC=DN，
∴AD=AN+DN=AB+CD，
即AD=AB+CD．