Question

已知函数f（x）=lnx+a（x2-x）（1）当a=-1时，求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若f（x）存在单调递减

已知函数f（x）=lnx+a（x2-x）（1）当a=-1时，求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若f（x）存在单调递减区间，求实数a的取值范围．（3）比较lnn与n2-n（n∈N*）的大小，并证明你的结论．

Answer 1

（1）当a=-1，f（x）=lnx-x²+x，x＞0，
f′（x）=

1

x

-2x+1，
令f′（x）=0，得

1

x

-2x+1=0，
∴2x²-x-1=0，
（2x+1）（x-1）=0，
x=1或x=-

1

2

（舍），
列表讨论：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↑	极大值	↓

∴函数f（x）的单调增区间是（0，1）；函数f（x）的单调减区间是（1，+∞）．
函数不存在极小值，当x=1时取得极大值，
极大值为f（1）=ln1-1+1=0．
（2）∵f（x）=lnx+a（x²-x）的定义域为（0，+∞），且f（x）存在单调递减区间，
∴f′(x)＝

1

x

+2ax?a=

2ax2?ax+1

x

≤0在（0，+∞）有解，
即2ax²-ax+1≤0在（0，+∞）有解，
∴

a≠0 △＝a2?8a≥0

，
解得a≥8，或a＜0．
故实数a的取值范围{a|a≥8，或a＜0}．
（3）lnn≤n²-n，（n∈N^*）．
证明：由（1）知，n∈N^*时，f（n）=lnn-n²+n是减函数，
且最大值为f（1）=ln1-1+1=0，
∴f（n）=lnn-n²+n≤0，
∴lnn≤n²-n，（n∈N^*）．