Question

已知向量组A：a1=（1，1，1，1）T，a2=（1，-1，1，-1）T，a3=（1，3，1，3）T，a4=（1，-1，-1，1）T．

已知向量组A：a1=（1，1，1，1）T，a2=（1，-1，1，-1）T，a3=（1，3，1，3）T，a4=（1，-1，-1，1）T．（1）求向量组A：a1，a2，a3，a4的秩及其一个最大无关组；（2）将不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示．

Answer 1

（α₁，α₂，α₃，α₄）=

1 1 1 1 1 ?1 3 ?1 1 1 1 ?1 1 ?1 3 1

∽

1 1 1 1 0 ?2 2 ?2 0 0 0 ?2 0 ?2 2 0

∽

1 1 1 1 0 ?2 2 ?2 0 0 0 ?2 0 0 0 2

∽

1 1 1 1 0 1 ?1 1 0 0 0 1 0 0 0 0

∽

1 0 2 0 0 1 ?1 1 0 0 0 1 0 0 0 0

∽

1 0 2 0 0 1 ?1 0 0 0 0 1 0 0 0 0

（1）所以，R（α₁，α₂，α₃，α₄）=3，
故列向量组的最大无关组含3个向量．而三个非零行的非零首行在1，2，4三列，故α₁，α₂，α₃是列向量组的一个最大线性无关组．
（2）令（β₁，β₂，β₃，β₄）=

1 0 2 0 0 1 ?1 0 0 0 0 1 0 0 0 0

，则可知k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃+k₄α₄=0与k₁β₁+k₂β₂+k₃β₃+k₄β₄=0同解．
β3＝

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