Question

设函数f(x)=log2(根号下(x^2+1)+x)(1)求函数f(x)的定义域（2）判断奇偶性（3）

求证在[0，正无穷）上单调增

Answer 1

(1)
函数有意义需真数为正，
即√(x^2+1)+x>0
当x=0时，即1>0,符合题意
当x>0时，√(x^2+1)+x>0恒成立；
当x<0时，√（x^2+1)>√x^2=|x|
∴√(x^2+1)+x>|x|+x=0
不等式成立
故不等式解集为R
函数f(x)的定义域为R
(2)
f(-x)+f(x)
=log2[√(x^2+1)-x]+log2[√(x^2+1)+x]
=log2｛[√(x^2+1)-x][√(x^2+1)+x]｝
=log2(x^2+1-x^2)
=log2(1)
=0
那么f(-x)=-f(x)
函数f(x)为奇函数
（3）
任取0<x1<x2
那么f(x1)-f(x2)
=log₂[√(x²₁+1)+x₁]-log₂[√(x²₂+1)+x₂]
=log₂{[√(x²₁+1)+x₁]/[√(x²₂+1)+x₂]}
∵0<x1<x2
∴0<√(x²₁+1)+x₁<√(x²₂+1)+x₂
∴0<[√(x²₁+1)+x₁]/[√(x²₂+1)+x₂]<1
那么log₂{[√(x²₁+1)+x₁]/[√(x²₂+1)+x₂]}<0
即f(x1)-f(x2)<0
f(x1)<f(x2)
∴f(x)是(0,+∞)上的增函数